Докажите, что найдется такое n, что 777…777 (n раз записанная 7) разделится нацело на 2019.

для n=1

1^7 -1 = 0 - делится на 7

пусть верно и для n.

покажем, что верно и для (n+1).

(n+1)^7 - n-1 = n^7 +7n^6 +21n^5 +35n^4 + 35n^3 +21n^2 +7n +1 -n -1 =

=(n^7 -n) +(7n^6 +21n^5 +35n^4 + 35n^3 +21n^2 +7n )

первая скобка делится на 7 по предположению.

во второй скобке каждое слагаемое говорят что ты маме говорила делится на 7

Пошаговое объяснение:

0 ; 1 ; 2 ... 2018 - возможные остатки  от деления числа на 2019  

( всего 2019 )  , пусть множество А состоит из различных чисел

 вида 777...7  и количество элементов этого множества

 больше чем 2019 , тогда найдутся 2 числа  из А ,имеющие

 одинаковые остатки при делении на 2019 , пусть это числа  а

и b ;  а > b ;a = 2019·n+r ; b = 2019·m+r  , тогда  а - b =  2019· t =

777...77...000...0  = 777...7 · ( количество цифр у

разности будет равно числу цифр числа  а , причем число

нулей будет равно числу семерок у числа  b ) , a - b кратно

2019 и равно произведению числа вида 777...7   и  

,  но числа 2019  и        

 взаимно  простые ( нет  общих делителей ) ⇒ 777...7 делится

нацело на  2019