Ученик не заметил знак умножения между двумя трехзначными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. найдите эти числа, в ответе укажите их сумму.

Перепишем равенство в виде 1000x = (7x - 1)y. Нетрудно видеть, что x и 7x - 1 не имеют общих делителей, отличных от 1 и -1. Действительно, если d — общий делитель чисел x и 7x - 1, то d является делителем числа 7x, а значит, и делителем числа 1 = 7x - (7x - 1). Но 1 делится только на 1 и -1.

Итак, число 7x - 1 — делитель произведения 1000 . x и взаимно просто со вторым множителем. Тогда, по известной теореме, число 7x - 1 — делитель числа 1000. Но

 

7x - 17 . 100 - 1 = 699,

 

поэтому 7x - 1 = 1000 (единственный делитель числа 1000, больше либо равный 699 — это само число 1000), откуда x = 143. Подставляя x = 143 в исходное уравнение, находим y = 143.

Сумма этих чисел:

х+у

143+143=286

A- трёхзначное число

B — второе трёхзначное число

1000A + B = 3AB

В= 1000A / (3A – 1) (cокращаем)

3A – 1 не может быть 1000, так как 1000/3 не делится.

3A – 1 = 500

А = 167, В = 334.

Вот сижу и тоже башку парю над этой олимпиадой

Решение

  Пусть x, y – искомые трёхзначные числа. По условию  7xy = 1000x + y.

  Первый Разделим обе части равенства на x:  7y = 1000 + y/x.  Число y/x положительно и меньше 10, так как  y ≤ 999,  x ≥ 100.  Поэтому  1000 < 7y < 1010.  Деля это неравенство на 7, получаем  1426/7 < y < 1442/7.  Так как y – целое число,  y = 143 или 144. 
  Подставляя  y = 143  в равенство, получаем   7x·143 = 1000x + 143.  Решая это уравнение, находим  x = 143. 
  Если  y = 144,  то аналогичное уравнение даёт  x = 18,  а это число – не трёхзначное.

  Второй Перепишем равенство в виде  1000x = (7x – 1)y.  Числа x и  7x – 1  взаимно просты. Значит,  7x – 1  – делитель числа 1000. Но 
7x – 1 ≥ 7·100 – 1 = 699,  поэтому  7x – 1 = 1000,  откуда  x = 143.  Подставляя в исходное уравнение, находим  y = 143.
ответ
143 и 143.

ЭТ ЯВНО НЕ 1-4 КЛАСС.

Первый случай.
Пусть x, y — искомые трехзначные числа. Если к числу x приписать три нуля, то получится число 1000x, если приписать y, то получится 1000x + y. 
Итак, ученик написал число 1000x + y. По условию это число в семь раз больше, чем x . y. Получается равенство 
7x . y = 1000x + y. 
Разделим обе части равенства на x: 
7y = 1000 + y / x
Число [t]y / x положительно и меньше 10, так как y999, x100. Поэтому 
1000 < 7y < 1010. 
Деля это неравенство на 7, получаем 
142 < y < 144. 
Так как y — целое число, y — либо 143, либо 144. Пусть y = 143. Подставляя это значение y в равенство, получаем: 
7x . 143 = 1000x + 143. 
Решая это уравнение, находим x = 143. Если y = 144, то аналогичное уравнение дает x = 18, что не годится, потому что x — число из трех цифр. 
Второй случай. Перепишем равенство в виде 1000x = (7x - 1)y. Нетрудно видеть, что x и 7x - 1 не имеют общих делителей, отличных от 1 и -1. Действительно, если d — общий делитель чисел x и 7x - 1, то d является делителем числа 7x, а значит, и делителем числа 1 = 7x - (7x - 1). Но 1 делится только на 1 и -1. 
Итак, число 7x - 1 — делитель произведения 1000 . x и взаимно просто со вторым множителем. Тогда, по известной теореме, число 7x - 1 — делитель числа 1000. Но 
7x - 17 . 100 - 1 = 699, 
поэтому 7x - 1 = 1000 (единственный делитель числа 1000, больше либо равный 699 — это само число 1000), откуда x = 143. Подставляя x = 143 в исходное уравнение, находим y = 143.